Question

如图，双曲线y=-

2

x

和y=-

8

x

在第二现象中的图象，A点在y=-

8

x

的图象上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交y=-

2

x

图象于点C，AB、DC均平行于x轴，分别交y=-

2

x

、y=-

8

x

的图象于点B、D．
（1）用m表示A、B、C、D的坐标；
（2）求证：梯形ABCD的面积是定值；
（3）若△ABC与△ACD相似，求m的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）把x=m代入y=-

8

x

中求出y的值，确定出A坐标，把A纵坐标代入y=-

2

x

中求出x的值确定出B的横坐标，进而确定出B坐标，把x=m代入y=-

2

x

中求出C的纵坐标确定出C坐标，再将C纵坐标代入y=-

8

x

中求出x的值，确定出D坐标；
（2）由A，B，C，D的坐标，确定出AB，CD，以及梯形高h，利用梯形面积公式表示出梯形ABCD面积，整理即可得证；
（3）由题意得到∠CAB与∠ACD都为直角，根据三角形ABC与三角形ACD相似，分两种情况考虑：AB：AC=AC：CD；AB：DC=AC：CA，分别求出m的值即可．

解答：解：（1）把x=m代入y=-

8

x

中，得：y=-

8

m

，即A（m，-

8

m

），
把y=-

8

m

代入y=-

2

x

中，得：x=

m

4

，即B（

m

4

，-

8

m

），
把x=m代入y=-

2

x

得：y=-

2

m

，即C（m，-

2

m

）；
把y=-

2

m

代入y=-

8

x

中，得：x=4m，即D（4m，-

2

m

）；
（2）∵AB=

m

4

-m=-

3m

4

，CD=m-4m=-3m，h=-

8

m

+

2

m

=-

6

m

，
∴S=

1

2

（-

3m

4

-3m）•（-

6

m

）=

9

4

+36=

45

4

，是定值；
（3）∵∠CAB=∠ACD=90°，△ABC与△ACD相似，
∴若AB：AC=AC：CD，则有（-

3m

4

）：（-

6

m

）=（-

6

m

）：（-3m），
整理得：

36

m2

=

9

4

m²，
解得：m=-2或m=2（不合题意，舍去）；
若AB：DC=AC：CA，则有AB：DC=1，即（-

3m

4

）：（-3m）=1，
整理得：-

3m

4

=-3m，无解，
综上，若△ABC与△ACD相似，m的值为-2．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，梯形的面积公式，以及相似三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．