Question

桐城市某游乐场投资150万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而改游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且满足y=ax²+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯收益W万元．
（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，分别求出y关于x的函数解析式以及W关于x的表达式；
（2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？
（3）几个月后，能收回投资？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）将x=1，y=2及x=2，y=6代入关系式y=ax²+bx求出a、b的值进而求出y与x的关系式，再由利润=收入-投资-维修保养费用就可以得出W与x的关系式；
（2）由（1）的W与x的关系式变为顶点式就可以求出结论；
（3）由函数的解析式可以得出0＜x≤16时y随x的增大而增大，当W=0时求出x的值即可求出结论．

解答：解：（1）由题意，得

2=a+b 6=4a+2b

，
解得：

a=1 b=1

，
y=x²+x．
W=33x-150-（x²+x），
W=-x²+32x-150．
答：y关于x的函数解析式为y=x²+x，W关于x的表达式为W=-x²+32x-150；
（2）∵W=-x²+32x-150，
W=-（x-16）²+106．
∵a=-1＜0，
∴x=16时，W_最大=106万元．
答：设施开放16个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益106万元；
（3）由题意，得
0=-x²+32x-150，
解得：x₁=16+

106

，x₂=16-

106

，
∵16+

106

＞16-

106

，
∴x=16-

106

．
∵x为整数，
∴x=5时，W＜0，
当x=6时，W＞0，
∴6个月后，能收回投资．

点评：本题考查了二次函数的顶点式的运用，利润=收入-投资-维修保养费用的数量关系的运用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的关系式是关键．