Question

如图，点B、C在反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，延长CB交y轴于A，且AB=

1

2

BC，且△AOC的面积是6，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义可得S_△ODB=S_△OEC=

1

2

.

k

.

，易证△ABD∽△ACE，然后结合条件AB=

1

2

BC可求得AB=

1

3

AC，BC=

2

3

AC，S_△OBC=

2

3

S_△OAC=4，设DB=a，则OD=

k

a

，EC=3a，OE=

k

3a

，然后运用割补法可推出S_△OBC=S_梯形DBCE，由此即可求出k的值．

解答：解：过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OB，如图，
则有S_△ODB=S_△OEC=

1

2

.

k

.

，DB∥EC，
∴△ABD∽△ACE，
∴

DB

EC

=

AB

AC

=

1

3

．
∵AB=

1

2

BC，
∴AB=

1

3

AC，BC=

2

3

AC，
∴DB=

1

3

EC，S_△OBC=

2

3

S_△OAC=

2

3

×6=4．
设DB=a，则OD=

k

a

，EC=3a，OE=

k

3a

，
∴S_△OBC=S_{四边形ODBC}-S_△ODB
=S_梯形DBCE+S_△OEC-S_△ODB
=S_梯形DBCE=

1

2

（a+3a）（

k

a

-

k

3a

）
=

4k

3

=4，
∴k=3．
故答案为3．

点评：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识，在解决问题的过程中用到了割补法、面积法等重要的数学方法，运用割补法推出S_△OBC=S_梯形DBCE是解决本题的关键．