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【题目】如图,AB⊙O的直径,点CD⊙O上,∠A=2∠BCD,点EAB的延长线上,∠AED=∠ABC

1)求证:DE⊙O相切;

2)若BF=2DF=,求⊙O的半径.

【答案】(1)详见解析;(25.

【解析】试题分析:(1)连接OD,由AB⊙O的直径可得∠ACB=90°,所以∠A+∠ABC=90°,即可证得∠BOD=∠A,从而推出∠ODE=90°,即可得到结论;(2)连接BD,过DDH⊥BFH,由弦切角定理得到∠BDE=∠BCD,推出△ACF△FDB都是等腰三角形,根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1,则FH=1,根据勾股定理得到HD=3,然后根据勾股定理列方程即可得到结论.

试题解析:(1)证明:连接OD

∵AB⊙O的直径,

∴∠ACB=90°

∴∠A+∠ABC=90°

∵∠BOD=2∠BCD∠A=2∠BCD

∴∠BOD=∠A

∵∠AED=∠ABC

∴∠BOD+∠AED=90°

∴∠ODE=90°

OD⊥DE

∴DE⊙O相切;

2)解:连接BD,过DDH⊥BFH

∵DE⊙O相切,

∴∠BDE=∠BCD

∵∠AED=∠ABC

∴∠AFC=∠DBF

∵∠AFC=∠DFB

∴△ACF△FDB都是等腰三角形,

∴FH=BH=BF=1,则FH=1,由勾股定理可得HD==3

Rt△ODH中,OH2+DH2=OD2

即(OD﹣12+32=OD2

∴OD=5

∴⊙O的半径是5

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