Question

8．如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC．若PA=4，PB=2，∠APB=135°，则PC的长为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连结PE，如图，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，于是可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，则∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连结PE，如图，
∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，
∴∠PEC=135°-45°=90°，
在Rt△PEC中，∵PE=2$\sqrt{2}$，CE=4，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．