Question

【题目】已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是该方程的两个根，记S＝x1＋x2-x1x2，S的值能为0吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）k=-1 .

【解析】试题分析：（1）分二次项系数为0和非0两种情况考虑，当k﹣1=0时，原方程为一元一次方程，解方程可得出此时方程有实数根；当k﹣1≠0时，根据根的判别式△=b2﹣4ac，可得出△=4（k﹣1）2+4＞0，进而可得出方程有两个不相等的实数根，综上即可得出结论．

（2）假设能，根据根与系数的关系可得出 ， ，将S进行变形代入数据即可得出分式方程，解分式方程得出k值，经检验后即可得出结论．

试题解析：（1）证明：①当k﹣1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=2，x=1有一个解；

②当k﹣1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4×2（k﹣1）=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．

综合①②得：不论k为何值，方程总有实根．

（2）解：假设能，∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，∴ ， ，∴S=x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=0，即 ，整理得：2+2k=0，解得：k=﹣1．

经检验：k=﹣1是分式方程的解，∴S的值能为0，此时k的值为﹣1．