Question

【题目】依托独特的气候资源，天然肥沃的优质土壤，广元市大力推广蔬菜种植，疫情防控期间，某蔬菜种植基地通过电商平台将蔬菜销往全国各地，销量大幅度提升．该基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．

（1）求改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元；

（2）已知改造1个甲种型号大棚需要5天，改造1个乙种型号大棚需要3天，该基地计划用126万元资金改造一定数量的两种型号蔬菜大棚，且要求改造时间总共不超过50天，请问：有几种改造方案？哪种方案改造时间最短？

Answer 1

【答案】（1）改造1个甲种型号大棚需12万元，改造1个乙种型号大棚需18万元；（2）有3种改造方案，其中改造3个甲种型号大棚，改造5个乙种型号大棚所需改造时间最短

【解析】

（1）本题有两个相等关系：改造2个甲种型号大棚的费用－改造1个乙种型号大棚的费用=6万元，改造1个甲种型号大棚的费用+改造2个乙种型号大棚的费用=48万元，据此设未知数列方程组解答即可；

（2）设改造甲种型号大棚a个，改造乙种型号大棚b个，由改造资金共126万元可得关于a、b的方程，进而可用含a的代数式表示b，由改造时间总共不超过50天可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求出改造时间的最小值．

解：（1）设改造1个甲种型号大棚需x万元，改造1个乙种型号大棚需y万元．

由题意，得，解得：，

答：改造1个甲种型号大棚需12万元，改造1个乙种型号大棚需18万元；

（2）设改造甲种型号大棚a个，改造乙种型号大棚b个．

由题意，得12a+18b=126，∴b=7－a．

由题意，得5a+3≤50，解得：a≤．

∵a，b为正整数，

∴a的值为3，6或9，所以共有3种改造方案；

设改造时间为w天，则w=5a+3=3a+21．

∵3＞0，∴当a=3时，w取得最小值，此时b=5．

∴有3种改造方案，其中改造3个甲种型号大棚，改造5个乙种型号大棚所需改造时间最短．