【题目】已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:EF=AE﹣BE;
(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;
(2)利用和AF=BE得到,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;
(2)如图,∵,
而AF=BE,
∴,
∴,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,
而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,
∴∠4=∠5,
即BE平分∠FBP,
而BE⊥EP,
∴EF=EP.
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【题目】如图,曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的,曲柄OA绕O点圆周运动,连杆AP拉动活塞作往复运动.当曲柄的A旋转到最右边时,如图(1),OP长为8cm;当曲柄的A旋转到最左边时,如图(2)OP长为18cm.
(1)求曲柄OA和连杆AP分别有多长;
(2)求:OA⊥OP时,如图(3),OP的长是多少.
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【题目】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收贵的价目表如下(注:水费按月份结算,表示立方米)
价目表 | |
每月用水量 | 价格 |
不超过的部分 | |
超出不超出的部分 | |
超出的部分 |
某户居民1月份和2月份的用水量分别为和,则应收水费分别是 元和 元
若该户居民月份用水量(其中),则应收水费多少元? (用含的式子表示,并化简)
若该户居民两个月共用水 (月份用水量超过月份),设月份用水,求该户居民两个月共交水费多少元? (用含 的式子表示,并化简)
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【题目】如图,点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC上的点,连接AD、BE交于点O,且△ABD≌△BCE.
(1)若AB=3,AE=2,则BD= ;
(2)若∠CBE=15°,则∠AOE= ;
(3)若∠BAD=a,猜想∠AOE的度数,并说明理由.
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【题目】如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是_____.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是___.
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【题目】如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50度.
(1)若∠AOC=∠AOB,则OC的方向是 ;
(2)OD是OB的反向延长线,OD的方向是 ;
(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,作∠BOD的平分线OE,OE的方向是 ;
(4)在(1)、(2)、(3)的条件下,∠COE= .
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【题目】关于x的一元二次方程(2m+1)x2+4mx+2m﹣3=0
(Ⅰ)当m=时,求方程的实数根;
(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
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