Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC＝OB，tan∠OAC＝4．

（1）求抛物线的解析式：

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）△MPH的周长的最大值为．

【解析】

（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；

（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后可求得直线AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=求解即可．

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA＝1．

又∵tan∠OAC＝4，

∴OC＝4，

∴C（0，﹣4）．

∵OC＝OB，

∴OB＝4，

∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），

∵将x＝0，y＝﹣4代入得：﹣4a＝﹣4，解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．

（2）∵抛物线的对称轴为 ，C（0，﹣4），

∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（3，﹣4），

设直线AD的解析式为y＝kx+b．

∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得 ，

解得k＝﹣1，b＝﹣1，

∴直线AD的解析式y＝﹣x﹣1．

∵直线AD的一次项系数k＝﹣1，

∴∠BAD＝45°．

∵PM平行于y轴，

∴∠AEP＝90°，

∴∠PMH＝∠AME＝45°．

∴△MPH的周长＝，

设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），

则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4．

∴当a＝1时，PM有最大值，最大值为4．

∴△MPH的周长的最大值＝．