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【题目】已知菱形的对角线交于点是直线上任意一点(异于点),过点作平行于 的直线交直线于点,交直线于点

1)当点在线段上时,如图 ①,易证: (不用证明)

2)当点在线段的延长线上时,如图 ;当点在线段的延长线上时,如图 ③,线段之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,并选择其中一种情况加以证明.

【答案】1)证明详见解析;(2)图②的结论为;图③的结论为;详见解析.

【解析】

1)先解直角三角形AOB得出AO=,由菱形的性质得到AC=,延长FPAB于点G,证明四边形AGFD是平行四边形得到AC=FG,再证明PE=PG即可得到答案;

2)在②中延长FEBC的延长线于G,可证得PF=PG,再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG,可证得;在③中,延长CBEF于点G,可证明PG=PF,可得到

1)∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°

∴∠OAB=30°,∠AOB=90°

延长FPAB于点G

AB//CDAC//FG

∴四边形ACFG是平行四边形,

AC=FG(平行四边形的对边相等)

EG//AC

(被平行线所截的线段对应成比例)

又∵OA=OC

PE=PG

AC=FG=PF+PG=PE+PF

)PDB的延长线上时,如图②,结论为

证明:延长FEDA的延长线于点G

ACFG

∵四边形ABCD为菱形,

AO=CO

PF=PG

EG=PG-PE=PF-PE

又∵ABCGACEG

∴四边形ACEG为平行四边形,

AC=EG

AC=PF-PE

PBD的延长线上时,如图③,结论为

延长EFBA的延长线于点G

ACEF

∵四边形ABCD为菱形,

AO=CO

PG=PE

FG=PG-PF=PE-PF

又∵ACEGAGCF

∴四边形AGFC为平行四边形,

FG=AC

AC=PE-PF

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