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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax1)(x5)(a0)的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于P点,过其顶点C作直线CHx轴于点H

1)若∠APB30°,请直接写出满足条件的点P的坐标;

2)当∠APB最大时,请求出a的值;

3)点POCB能否在同一个圆上?若能,请求出a的值,若不能,请说明理由.

4)若a ,在对称轴HC上是否存在一点Q,使∠AQP=∠ABP?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)点P坐标为(0)或(0);(2;(3)能,a的值为;(4)点Q坐标为(33+)或(33).

【解析】

1)作△PAB的外接圆⊙D,连接DPDADB,证△ABD是等边三角形,求A10),B50),得DPDAAB4H30),得直线CHx3,求出D32

P0p)(p0),由PD232+2p242求出P的坐标;(2)作△PAB的外接圆⊙E,连接EPEAEB,如图2,由切线性质,得四边形OHEP是矩形,在RtAEH中,EH,求出0P得点P坐标为(0),代入抛物线解析式可得;(3)连接PB,取PB中点F,连接FOFC,证点POB在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上,若点C在⊙F上,则FCFB,由抛物线解析式yax1)(x5)=ax26ax+5aax324a,得P05a),C3,﹣4a),再求F坐标,由,得,解方程可得;(4)作△PAB的外接圆⊙G,连接GPGA,设⊙G与直线CH交于点Q,得∠AQP=∠ABP,当a时,点P01),设G3b)(b0),由GPGA,得32+b12=(312+b2,进一步得G33),GQGA,可得点Q坐标有两种可能.

解:(1)作△PAB的外接圆⊙D,连接DPDADB,如图1

DPDADB

C为抛物线顶点且CHx

CH为抛物线对称轴,即CH垂直平分AB

D在直线CH

∵∠APB30°

∴∠ADB2APB60°

∴△ABD是等边三角形

∵当y0时,ax1)(x5)=0 解得:x11x25

A10),B50

DPDAAB4H30),直线CHx3

AH2DHAH2

D32

P0p)(p0

PD232+2p242

解得:p1p2

∴点P坐标为(0)或(0

2)作△PAB的外接圆⊙E,连接EPEAEB,如图2

∵∠AEB2APB

∴∠AEB最大时,∠APB最大

AB4是定值

EH最小时,∠AEB最大,此时⊙Ey轴相切于点P

EPy轴于P

∴四边形OHEP是矩形

PEOH3

EAPE3

RtAEH中,EH

OPEH

∴点P坐标为(0),代入抛物线解析式得:5a

a

3)点POCB能在同一个圆上.

连接PB,取PB中点F,连接FOFC

∵∠POB90°

OFPFFBPB

∴点POB在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上

若点C在⊙F上,则FCFB

∵抛物线解析式yax1)(x5)=ax26ax+5aax324a

P05a),C3,﹣4a

B50),FPB中点

F

解得:a1a2=﹣(舍去)

a的值为

4)对称轴HC上存在一点Q,使∠AQP=∠ABP

作△PAB的外接圆⊙G,连接GPGA,设⊙G与直线CH交于点Q

∴∠AQP=∠ABP

a时,点P01

G3b)(b0

GP232+b12GA2=(312+b2

GPGA

32+b12=(312+b2

解得:b3

G33),GQGA

∴点Q坐标为(33+ )或(33).

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