【题目】已知AM是△ABC的中线,点D在线段AM上[点D不与点A重合),过点D作DF∥AB交AC边于点F,过点C作CE∥AM交DF的延长线于点E,连接AE.
(1)如图1,当点D与点M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与点M重合时,过点M作MG∥DE交EC于点G,连接BD、AG在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有的平行四边形.
【答案】(1)见解析;(2)图中所有的平行四边形为平行四边形ABMG,平行四边形AMCG,平行四边形DEGM,平行四边形ABDE.
【解析】
(1)由平行线的性质得出∠EDC=∠ABD,∠ECD=∠ADB,由中线性质得出BD=DC,证明△ABD≌△EDC,得出AB=ED,即可得出结论;
(2)同(1)得:四边形ABMG是平行四边形,得出AG∥BC,AB=MG,由CE∥AM,得出四边形AMCG是平行四边形,由MG∥DE,CE∥AM,得出四边形DEGM是平行四边形,得出DE=MG,证出AB=DE,即可得出四边形ABDE是平行四边形.
解:(1)证明:∵DF∥AB,CE∥AM,
∴∠EDC=∠ABD,∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
在△ABD和△EDC中,
∴△ABD≌△EDC(ASA),
∴AB=ED,
∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)图中所有的平行四边形为平行四边形ABMG,平行四边形AMCG,平行四边形DEGM,平行四边形ABDE;理由如下:
同(1)得:四边形ABMG是平行四边形,
∴AG∥BC,AB=MG,
∵CE∥AM,
∴四边形AMCG是平行四边形,
∵MG∥DE,CE∥AM,
∴四边形DEGM是平行四边形,
∴DE=MG,
∴AB=DE,
又∵DF∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形.
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【题目】如图所示,菱形ABCD中,直线l⊥边AB,并从点A出发向右平移,设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y,平移距离x=AF,y与x之间的函数关系的图象如图2所示,则菱形ABCD的面积为( )
A.3B.C.2D.3
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【题目】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
(2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
(3)在(2)的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资,给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能的少?
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【题目】如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=(<600),D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转到AE,过点E作BC的平行线,交AB于点F,连接DE、BE、DF
(1)求证:BE=CD
(2)若AD⊥BC,试判断四边形BDFE的形状,并给出证明。
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,得到△A1B1C,请画出△A1B1C的图形.
(2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(-2,-6),请画出平移后对应的△A2B2C2的图形.
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】如图,曲线C2是双曲线C1:y= (x>0)绕原点O逆时针旋转60°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于( )
A.B.6C.3D.12
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x﹣1)(x﹣5)(a>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于P点,过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H.
(1)若∠APB=30°,请直接写出满足条件的点P的坐标;
(2)当∠APB最大时,请求出a的值;
(3)点P、O、C、B能否在同一个圆上?若能,请求出a的值,若不能,请说明理由.
(4)若a= ,在对称轴HC上是否存在一点Q,使∠AQP=∠ABP?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点和.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若定义横、纵坐标均为整数的点叫做好点,则图中阴影部分区域内(不含边界)好点的个数为________;
(3)请根据图象直接写出不等式的解集.
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【题目】如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,边长分别为m、n(m<n).坐标原点O为AD的中点,A、D、E在y轴上.若二次函数y=ax2的图象过C、F两点,则=_____.
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