Question

15．将自然数按如下的顺序排列．在这样的排列下，9排在第3行第2列，那么：
（1）第2009行第1列的数是多少？
（2）自然数2009排在第几行第几列？

Answer 1

分析 （1）第1行第1列的数是1，第2行第1列的数是1+2=3，第3行第1列的数是1+2+3=6，…第n行第1列的数是1+2+3+4…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），由此算得答案即可；
（2）先将原图形变形成下图：观察新旧图形发现，新图形中每行从右往左数，第i个数位于原图形的第i行．新图形中每行从左往右数，第j个数位于原图形的第j列，且第n行左数第1个是（1+n）×n÷2．由此先找出2009在新图形中的位置，然后再变成它在原图中的位置．

解答 解：（1）第1行第1列的数是1，
第2行第1列的数是1+2=3，
第3行第1列的数是1+2+3=6，
…
第n行第1列的数是1+2+3+4…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
第2009行第1列的数是$\frac{1}{2}$×2009×2010=2019045；
（2）先找出2009所在的行数．
因为$\frac{1}{2}$×62×63=1953，$\frac{1}{2}$×63×64=2016，所2009在新图的第64行．
第64行左数第一个数是1954，
1953+56=2009．
根据2009-1953=56和64-56+1=9，可知2009在第56行第9列．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．