Question

【题目】已知：都是的直径，都是的弦，于点，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，延长交于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）要证明AH⊥CF，只要证明 即可，根据垂径定理和∠AOF=∠BOC，即可证明结论成立；

（2）要证明PH=PD，只要证明PA=PC即可，根据AH=CD，即可得到，进而得到，然后即可得到结论成立；

（3）要求AP的长，需要作AK⊥QH于点K，再根据∠Q=45°，CQ=2和全等三角形的判定与性质、三角形的相似、勾股定理即可求得AP的长．

（1）证明：∵AH=CD，

∴，

∵AB是直径，CD⊥AB，

∴，

∵∠AOF=∠BOC，

∴==，

∴AH⊥CF；

（2）证明：连接AC，如图2所示，

∵AH=CD，

∴,

∴,

∴,

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA，

又∵CD=AH，

∴PD=PH，

即PH=PD；

（3）过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示，

∵四边形ACDH内接于⊙O，

∴∠PAC=∠PDH，

由（2）知，∠PAC=∠PCA，

∴∠PDH=∠PCA，

∴DH∥AC，

∴∠CQE=∠DHE，

∵∠CEQ=∠DHE，CE=DE，

∴△CQE≌△DHE（AAS），

∴EQ=EH，CQ=DH=2，

∵∠Q=45°，AK⊥QH，

∴∠Q=∠QAK=45°，

∴AK=QK，

∵∠CEQ+∠AEK=180°-∠AEC=90°，∠AEK+EAK=90°，

∴∠EAK=CEQ=∠PCA-∠Q=∠PAC-∠QAK=∠HAK，

∵∠AKE=∠AKH=90°，AK=AK，∠EAK=∠HAK，

∴△EAK≌△HAK（ASA），

∴EK=HK，AE=AH=CD，

设EK=x，则EH=EQ=2x，

解得，x=，

∴AC=10，AH=，

∵DH∥AC，∴△PDH∽△PCA，

解得，PA=，

即AP的长为．