Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。

（1）求证：BC是⊙O切线；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。

Answer 1

【答案】(1)证明过程见解析；(2)AC=6．

【解析】

试题分析：(1)连接OD，根据OA=OD得出∠OAD=∠ODA，根据角平分线可得∠OAD=∠DAC，从而可以得出：∠ODA=∠DAC，说明OD∥AC，得到所求的结论；(2)、过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，AC=AE，根据勾股定理得到BE=4，然后设AC=x，则AB=x+4，BC=8，根据直角△ABC的勾股定理求出AC的长度．

试题解析：(1)、连接OD． ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD

∴∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切线．

(2)过D点作AB的垂线段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 则BE=4，

又∵AE=AC，在直角△ABC中运用勾股定理，设AC=x，则 解得：x=6，∴ AC=6