Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：由全等三角形的对应边相等可得CP=CQ，分①P在AC上，Q在BC上，②P、Q都在AC上，③当Q到A点，与A重合，P在BC上时3种情况求解即可．

试题解析：

解：设运动时间为t(s)时，△PEC≌△CFQ.

∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP＝QC.

当0<t<6时，点P在AC上；

当6≤t≤14时，点P在BC上．

当0＜t＜时，点Q在BC上；

当时，点Q在AC上．

有三种情况：①当点P在AC上，点Q在BC上时，如解图①.

易得CP＝6－t，QC＝8－3t，

∴6－t＝8－3t，解得t＝1.

②当点P，Q都在AC上时，此时点P，Q重合，如解图②.

易得CP＝6－t＝3t－8，解得t＝3.5.

③当点Q与点A重合，点P在BC上时(6＜t≤14)，如解图③.

易得CP＝t－6，QC＝6，∴t－6＝6，解得t＝12.

综上所述，当点P运动1 s或3.5 s或12 s时，△PEC与△CFQ全等．