【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,点 为第一象限内一点,点在轴正半轴上,且.
(1)求点的坐标;
(2)动点以每秒2个单位长度的速度,从点出发,沿轴正半轴匀速运动,设点的运动时间为秒,的面积为,请用含有的式子表示,并直接写出的取值范围;
(3)如图2,在(2)的条件下,点坐标为,连接,过点作轴的垂线交于点,过点 作轴的平行线,在点的运动过程中,直线上是否存在一点,使是以为腰的等腰直角三角形?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(10,0);(2)S=25-5t(0<t≤5)或S=5t-25(t>5);(3)存在,(5,5)或(3,5)或(17,5).
【解析】
(1)作AM⊥OB于M,左侧△OAB是等腰直角三角形,得出∠OAB=90°,∠ABO=45°,BM=OM=5,求出OB=10,即可得出点B的坐标;
(2)分两种情况讨论:当0<t≤5时,OP=2t,则PB=10-2t;当t>5时,OP=2t,则PB=2t-10;由三角形面积公式即可得出结果;
(3)由ASA证明△OAD≌△BAK,得出OD=BK=2,分两种情况:当∠PRK=90°时,点R与A重合,得出R(5,5);当∠RPK=90°时,①当P在B的左侧时,作RE⊥OB于E,证得△EPR≌△BKP,得出EP=BK=2,RE=PB=5,求出OE=3即可;②当P在B的右侧时,同理得出点R的坐标为(17,5),即可得出结论.
(1)作AM⊥OB于M,如图1所示:
∵∠AOB=45°,OA=BA,点A(5,5),
∴△OAB是等腰直角三角形,∠OAB=90°,
∴∠ABO=45°,BM=OM=5,
∴OB=10,
∴点B的坐标为(10,0);
(2)当0<t≤5时,如图2所示:
OP=2t,则PB=10-2t,
∴S=(10-2t)×5=25-5t;
当t>5时,如图3所示:
OP=2t,则PB=2t-10,
∴S=(2t-10)×5=5t-25;
综上所述:S=25-5t(0<t≤5)或S=5t-25(t>5);
(3)存在,∵AK⊥AD,
∴∠DAK=90°=∠OAB,
∴∠OAD=∠BAK,
∵BK⊥OB,
∴∠ABK=90°-45°=45°,
在△OAD和△BAK中, ,
∴△OAD≌△BAK(ASA),
∴OD=BK=2,
当∠PRK=90°时,点R与A重合,
∴R(5,5);
当∠RPK=90°时,
①当P在B的左侧时,如图4所示:
作RE⊥OB于E,同理证得△EPR≌△BKP,
∴EP=BK=2,RE=PB=5,
∴OE=10-5-2=3,
∴R(3,5);
②当P在B的右侧时,如图5所示:
同理得出点R的坐标为(17,5);
综上所述:直线a上存在点R,使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形,点R坐标为(5,5)或(3,5)或(17,5)./p>
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【题目】如图所示的是用棋子成的T字形图案:
(1)填写下表:
图案序号 | ① | ② | ③ | ④ | …… | ⑧ |
每个图案中棋子的个数 | 5 | 8 | …… |
(2)第个“T“字形图案中棋子的个数为多少 (用含的代数式表示);
(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个?
(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.
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【题目】下面说法正确的个数有( )
①方程的非负整数解只有;②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形;③如果,那么是直角三角形;④各边都相等的多边形是正多边形;⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部,那么这个三角形一定是钝角三角形.
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】开学初,小芳和小亮去商店购买学习用品,小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍,已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元.
(1)求每支钢笔和每本笔记本各是多少元;
(2)学校运动会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给小芳,再次购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖励给校运动会中表现突出的同学,经双方协商,商店给出优惠是购买商品的总金额超出50的部分给打九折,请问小芳至少要买多少支钢笔?
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【题目】如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数关系式.
(2)将y=ax2+bx+c化成y=a(x﹣m)2+k的形式(请直接写出答案).
(3)若点D(3.5,m)是抛物线y=ax2+bx+c上的一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积.
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【题目】学生在操场上利用三角函数测量旗杆AB的高,直线l为水平地面,两个同学把30°的三角板和量角器按如图所示的方式垂直放在地面上,量角器的零刻度线与地面重合,此时旗杆顶部B的影子恰好落在三角形板的顶点D处和量角器37°的刻度C处,已知三角形板的边DE=60厘米,量角器的半径r=25厘米,量角器的圆心O到A的距离为5米.
(1)则∠AOC=°(直接写出答案)
(2)求旗杆AB的高度(精确到0.1米,参考数据sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75, ≈1.73)
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