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【题目】类比等腰三角形的定义,我们定义:有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”.

1)已知:如图1,在“准等边四边形”ABCD中,BCABBDCDAB=3BD=4,求BC的长;

2)在探究性质时,小明发现一个结论:对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请你判断此结论是否正确,若正确,请说明理由;若不正确,请举出反例;

3)如图2,在ABC中,AB=AC=BAC=90°.在AB的垂直平分线上是否存在点P,使得以ABCP为顶点的四边形为“准等边四边形”. 若存在,请求出该“准等边四边形”的面积;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)5;(2)正确,证明详见解析;(3)存在,有四种情况,面积分别是:

【解析】

1)根据勾股定理计算BC的长度,

2)根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,

3)有四种情况,作辅助线,将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形,相加可得结论.

1BDCD

BDC=90°BC>CD

准等边四边形ABCD中,BCAB

AB=AD=CD=3,

∵BD=4,

BC=,

2)正确.

如图所示:

AB=AD

∴ΔABD是等腰三角形.

ACBD

AC垂直平分BD

BC=CD

CD =AB=AD=BC

四边形 ABCD是菱形.

3)存在四种情况,

如图2,四边形ABPC准等边四边形”,CF,则,

EPAB的垂直平分线,

,

∴四边形AEFC是矩形,

中, ,

,

如图4,四边形ABPC准等边四边形”,


,

是等边三角形,

;

如图5,四边形ABPC准等边四边形”,

,PEAB的垂直平分线,

E是AB的中点,

,

如图6,四边形ABPC准等边四边形”,PF,连接AP


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