Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠B=60°．

（1）求⊙O的半径；
（2）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形？
（3）当t为何值时，△BEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆周角定理可知∠ACB=90°，再由sin∠ABC=

3

2

可求出∠B的度数，再根据直角三角形的性质即可求出AB的长进而求出其半径的长；
（2）当△BEF为直角三角形时，与△ABC相似，可根据相似三角形的性质解答；
（3）用含t的代数式表示出△BEF的高，进而用二次函数表示出其面积，利用二次函数的性质解答即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA=

AB

2

=

4

2

=2cm，即r=2cm；

（2）①当EF⊥BC时，如图1，

因为AB为⊙O直径，
所以∠C=90°，
当EF⊥BC，
则有△EBF∽△ABC，
于是

BF

BC

=

BE

BA

，
即

t

2

=

4-2t

4

，
解得t=1．

②当EF⊥AB时，如图2，

则有△EBF∽△BCA，
于是

EB

CB

=

BF

AB

，
即

t

4

=

4-2t

2

，
解得t=

8

5

．
所以，当t=1s或

8

5

s时，△BEF为直角三角形．

（3）作△BFE的BE边上的高FG，如图3，

则FG=BF•sin∠ABC=

3

2

t．
S_△EFB=

1

2

EB•FG=

1

2

（4-2t）

3

2

t=-

3

2

t²+

3

t，
当t=-

3

2×(- 3 2 )

=1时，S_△EFB取得最大值，为S_最大=-

3

2

+

3

=

3

2

．

点评：此题是一道综合性很强的题目，涉及圆周角定理、三角函数、二次函数的最值等问题，难度较大，要认真对待．