Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（-9，0），B（0，12），点C的坐标为（16，0），作射线CB，点D为射线CA上的一动点，过点D作DE⊥CB于点E，点P为直线AB上的一个动点，连结PD，PE，设CD长为t（t＞0）．
（1）当0＜t＜25时DE=

 

，BE=

 

（均用含t的代数式表示）；
（2）设△PDE的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）当点D不在线段AO上时，在点D的其余运动过程中，若存在点D、P使得△PAD和△PBE相似，则求出所有满足条件的t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A、B、C的坐标求出AB、BC、AC，得出AB⊥BC，根据DE⊥CB，得出DE∥AB，

DE

AB

=

DC

AC

=

EC

BC

，求出DE=

3

5

t，EC=

4

5

t，再根据BE=BC-EC即可求出答案；
（2）根据S_△PDE=

1

2

DE•BE，分当0＜t＜25时，当t＞25时，画出图形，再进行计算即可；
（3）当点D在线段CO上，∠APD=90°时，四边形BPDE是矩形，△APD∽△ABC，根据若△PBE相似于△ABC，则△PAD和△PBE相似，再根据

PB

AB

=

BE

BC

或

PB

BC

=

BE

AB

得出

3t 5

15

=

20- 4t 5

20

或

3t 5

20

=

20- 4t 5

15

从而求出t；
若△APD∽△PEB，则PD⊥AC，

PA

EP

=

AD

PB

=

PD

EB

，根据

BO

PD

=

AO

AD

=

AB

AP

得出PD=

100-4t

3

，AP=

125-5t

3

，再求出PB，最后代入得出

25-t

80-5t 3

=

100-4t 3

20- 4 5 t

，从而求出t；
若△APD∽△EBP，则PD⊥AB，

PA

BE

=

PD

BP

，根据

DP

BC

=

PA

BA

=

DA

CA

，得出PA=

3

5

t-15，PD=

4

5

t-20，再根据BP=

3

5

t，BE=

4

5

t-20，得出

3 5 t-15

4 5 t-20

=

4 5 t-20

3 5 t

，从而求出t．

解答：解：（1）∵A（-9，0），B（0，12），C（16，0），
∴OA=9，OB=12，OC=16，
∴AB=15，BC=20，AC=25，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AB，
∴

DE

AB

=

DC

AC

=

EC

BC

，
∴

DE

15

=

t

25

=

EC

20

，
∴DE=

3

5

t，EC=

4

5

t，
∴BE=BC-EC=20-

4

5

t；
故答案为：

3

5

t，20-

4

5

t；

（2）∵S_△PDE=

1

2

DE•BE，
∴如图1：当0＜t＜25时，S=

1

2

×

3

5

t×（20-

4

5

t）=-

6

25

t2+6t，

如图2：当t＞25时，S=

1

2

×

3

5

t×（

4

5

t-20）=

6

25

t2-6t；



（3）如图3：

当点D在线段CO上，∠APD=90°时，四边形BPDE是矩形，
∴PB=DE=

3

5

t，PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴若△PBE相似于△ABC，则△PAD和△PBE相似，
∴

PB

AB

=

BE

BC

或

PB

BC

=

BE

AB

即

3t 5

15

=

20- 4t 5

20

或

3t 5

20

=

20- 4t 5

15

，
解得：t=

25

2

或t=16（舍去），
如图4，

若△APD∽△PEB，
则PD⊥AC，

PA

EP

=

AD

PB

=

PD

EB

，
∵BO∥PD，
∴

BO

PD

=

AO

AD

=

AB

AP

，
∴

12

PD

=

9

25-t

=

15

AP

，
∴PD=

100-4t

3

，
AP=

125-5t

3

，
∴PB=AP-AB=

80-5t

3

，
∴

25-t

80-5t 3

=

100-4t 3

20- 4 5 t

，
∴t₁=

175

16

，t₂=25（舍去）
如图5，

若△APD∽△EBP，
则PD⊥AB，

PA

BE

=

PD

BP

，
∵△APD∽△ABC，
∴

DP

BC

=

PA

BA

=

DA

CA

，
∴

DP

20

=

PA

15

=

t-25

25

，
∴PA=

3

5

t-15，
PD=

4

5

t-20，
∴BP=PA+AB=

3

5

t，
BE=PD=

4

5

t-20，
∴

3 5 t-15

4 5 t-20

=

4 5 t-20

3 5 t

，
∴t₃=

400

7

，t₄=25（舍去），
所有满足条件的t的值是：

25

2

，

175

16

，

400

7

．

点评：此题考查了一次函数综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定等，关键是根据题意画出图形，注意求出所有的结果．