Question

1．如图，AB是⊙的直径，C是$\widehat{AB}$的中点，BD⊥AB交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交DB于F，AF交⊙O于H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）连接CH，求∠AHC的长；
（3）若OB=2，①求BH的长．②求CH的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由AB为直径，且C为弧AB的中点，利用圆周角定理及等弧对等弦，得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而确定出三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AC=CD；
（2）利用等弧所对的圆周角相等即可求出∠AHC的度数；
（3）①连接OC，则OC⊥AB，证出OC∥DF，由E是OB的中点，得出BF=OC=OB，根据勾股定理求出AF，然后由△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，即可求出BH；
②求出AC与AH的长，在三角形ACH中，利用余弦定理即可求出CH的长．

解答 解：（1）连接BC，
∵AB为圆O的直径，且C为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠ABD=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，即AB=DB，
∵BC⊥AD，
∴C为AD的中点，
∴AC=CD；
（2）∵∠AHC与∠ABC都对$\widehat{AC}$，
∴∠AHC=∠ABC=45°；
（3）①连接OC，如图所示：
∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴OC∥DF，
∵E是OB的中点，
∴BF=OC=OB=2，
∵∠ABF=90°，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∠AHC=45°，
∴由余弦定理得：AC²=AH²+CH²-2AH•CH•cos45°，即8=$\frac{64}{5}$+CH²-$\frac{8\sqrt{10}}{5}$CH，
整理得：5CH²-8$\sqrt{10}$CH+24=0，
解得：CH=$\frac{8\sqrt{10}±\sqrt{640-480}}{10}$=$\frac{8\sqrt{10}±2\sqrt{10}}{10}$，即CH=$\sqrt{10}$或CH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，三线合一性质，勾股定理，三角形面积求法，以及余弦定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．