Question

【题目】如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，sin∠BAC=

（1）BC长=_____；

（2）若点P是线段AC上一点，当△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（3）如图（2），点E是边BC上一点，且PE⊥PD．则：①=_____；

②如图（3）分别以PE、PD为边作矩形PEFD，若AP=2，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）8（2）4或5或（3）

【解析】

（1）先根据在矩形ABCD中，AB=6，sin∠BAC=则=，再设BC=4x，AC=5x，最后用勾股定理求解；

（2）由（1）知，AC=5x=5×2=10．要使△PCD是等腰三角形，有3种情况，CP=CD,PD=PC,DP=DC,依次求解;

（3）①如图（3），过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则MN∥CD,再根据==，

设，PM=x，AM=x，再求出△DMP∽△PNE，最后得=；

②如图（3），连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，然后四边形ABCD和PEFD是矩形，得∠ADC=∠PDF=90°，求出∠ADP=∠CDF，根据在矩形PEFD中，PF=DE，得OC=OP=OF，再得∠PAD=∠FCD，证明△ADP∽△CDF，得==，最后求出CF．

（1）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，sin∠BAC=

则=，

故设BC=4x，AC=5x．

由勾股定理知，AC2=AB2+BC2，即25x2=16x2+36，

解得x=2（舍去负值）

故BC=4×2=8．

故答案是：8；

（2）由（1）知，AC=5x=5×2=10．

要使△PCD是等腰三角形，

①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，

②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，

∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，

∴∠PAD=∠PDA，

∴PD=PA，

∴PA=PC，

∴AP=AC=5，

③当DP=DC时，如图（2），过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，

∵S△ADC=ADDC=ACDQ，

∴DQ=，

∴CQ=，

∴PC=2CQ=，

∴AP=AC﹣PC=10﹣=；

所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；

（3）①如图（3），过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则MN∥CD．

∴==，

∴PM=x，AM=x，

∴PN=4﹣x，DM=8﹣x．

∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，

∴∠MDP=∠NPE．

又∵∠DMP=∠PNE=90°，

∴△DMP∽△PNE．

∴====2，

∴=．

故答案是：；

②如图（3），连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，

∵四边形ABCD和PEFD是矩形，

∴∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，

∴∠ADP=∠CDF，

∵∠BCD=90°，OE=OD，

∴OC=ED，

在矩形PEFD中，PF=DE，

∴OC=PF，

∵OP=OF=PF，

∴OC=OP=OF，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，

∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，

∴2∠OCP+2∠OCF=180°，

∴∠PCF=90°，

∴∠PCD+∠FCD=90°，

在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，

∴∠PAD=∠FCD，

∴△ADP∽△CDF，

∴==，

∵AP=，

∴CF=．