Question

先阅读下面的内容，然后再解答问题．

例：已知m²+2mn+2n²﹣2n+1=0．求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣2n+1=0，

∴m²+2mn+n²+n²﹣2n+1=0．

∴（m+n）²+（n﹣1）²=0．

∴．

解这个方程组，得：．

解答下面的问题：

（1）如果x²+y²﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）²⁰¹⁶的值；

（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a²+b²+c²=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．

　

Answer 1

【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

【专题】阅读型．

【分析】（1）根据完全平方公式把原式化为（x﹣4）²+（y+5）²=0的形式，根据非负数的性质求出x、y，代入代数式根据乘方法则计算即可；

（2）根据完全平方公式把原式化为（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．

【解答】解：（1）∵x²+y²﹣8x+10y+41=0，

∴x²﹣8x+16+y²+10y+25=0．

∴（x﹣4）²+（y+5）²=0．

∴x﹣4=0且y+5=0．

∴x=4，y=﹣5．

∴（x+y）²⁰¹⁶=[4+（﹣5）]²⁰¹⁶=1．

（2）∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，

∴2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca．

∴a²﹣2ab+b²+b²﹣2bc+c²+c²﹣2ca+a²=0．

∴（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²=0．

∴a﹣b=0且b﹣c=0且c﹣a=0．

∴a=b=c．

∴△ABC是等边三角形．

【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．