Question

【题目】如图，抛物线 y=ax2+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为=，求出点 E 的坐标；

（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点， 是否存在点 D，使 DA2=DMDN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；（2）E 点坐标是（4，）；（3）D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得 AF 的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）根据两点间距离，可得 AD 的长，根据根与系数的关系，可得 x1x2，根据

DA2=DMDN，可得关于 n 的方程，解方程，即可得答案．

（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得，

解得，

抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；

（2）∵EF⊥x 轴于点 F，

∴∠AFE=90°，

∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，

∴△AOD∽△AFE，

∵==，

∵AO=1，

∴AF=3，OF=3+1=4，

当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，

∴E 点坐标是（4，）；

（3）存在点 D，使 DA2=DMDN，理由如下：

设 D 点坐标为（0，n），

AD2=1+n2，

当 y=n 时，﹣x2+x﹣=n

化简，得﹣3x2+21﹣18﹣4n=0， 设方程的两根为 x1，x2， x1x2=

DM=x1，DN=x2，

DA2=DMDN，即 1+n2=，

化简，得

3n2﹣4n﹣15=0， 解得 n1=，n2=3，

∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．