Question

11．已知，如图1所示，直线y=2x+4分别交x、y轴于B、A，与直线y=$\frac{2}{3}$x交于点C，抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c的顶点P（横坐标为m）且在直线y=2x+4上移动，交y轴于点D．
（1）求c的值（用含m的式子表示）；
（2）当PD=PO时，求b的值；
（3）如图2，M是抛物线对称轴右侧的一点，点M与点P之间的水平距离为1，是否存在这样的b值，使得线段PM与PM之间的抛物线组成的封闭图形（阴影部分）在△ACO内（包含边）？若存在，求b的取值范围；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据点P的横坐标为m得出b=-m，再根据点P在直线y=2x+4上移动得出y=2m+4，代入抛物线的解析式可得出c的表达式；
（2）连接PD，PO，根据PD=PO时△POD是等腰三角形，故点P在OD的垂直平分线上，由此可得出m的值；
（3）根据抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4与y=$\frac{2}{3}$x相切得出关于x的方程，由△=0即可得出m的值，求出b的值；同理，根据点M在y轴上时得出b的值，由此得出结论．

解答 解：（1）∵点P的横坐标为m，
∴-$\frac{b}{2×\frac{1}{2}}$=m，即b=-m，
∴抛物线的解析式可化为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-mx+c，
∵点P在直线y=2x+4上移动，
∴当x=m时，y=2m+4．
∴$\frac{1}{2}$m²-m²+c=2m+4，
∴c=$\frac{1}{2}$m²+2m+4；

（2）当PD=PO时，连接PD，PO，如图1，则2m+4=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+2m+4），
解得，m=2±2$\sqrt{3}$，
故b=-m=-2±2$\sqrt{3}$．

（3）当抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4与y=$\frac{2}{3}$x相切时，$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4=$\frac{2}{3}$x，
∴△=（6m+4）²-4×3•（3m²+12m+24）=0，
∴6m=-17，
∴m=-$\frac{17}{6}$，
此时P（-$\frac{17}{6}$，-$\frac{5}{3}$），x_M=-$\frac{11}{6}$＜0，图形在△AOC内，
∴b=-m=$\frac{17}{6}$．
当点M在y轴上时，
∵x_M-x_p=1，
∴x_p=-1，
∴m=-1，
∴b=-m=1
∵阴影部分在△AOC内，
∴1≤b≤$\frac{17}{6}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及二次函数图象上点的坐标特点，二次函数的最值即直线与函数相切的问题，难度适中．