【题目】如图①,直线PQ同侧有两点M,N,点T在直线PQ上,若∠MTP=∠NTQ,则称点T为M,N在直线PQ上的投射点.
(1)如图②,在Rt△ABC中,∠B=60°,D为斜边AB的中点,E为AC的中点.求证:点D为C,E在直线AB上的投射点;
(2)如图③,在正方形网格中,已知点A,B,C三点均在格点上,请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P,在BC上画出点Q,使A,P在BC上的投射点Q满足CQ=2BQ;
(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,在AB,BC边上是否分别存在点D,E,使点D为E,C在AB上的投射点,点E为A,D在BC上的投射点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)画图见解析;(3)存在,.
【解析】
(1)先求出∠BDC=60°,进而判断出∠ADE=∠B=60°,即可得出结论;
(2)根据对称性即可作出图形;
(3)根据对称和相似作出图形,再用相似三角形的性质即可得出结论.
(1)∵在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,
∴CD=BD=BC,
又∵∠B=60°,
∴∠BDC=60°,
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥AC,
∴∠ADE=∠B=60°,
∴∠ADE=∠BDC,
∴点D为C,E在直线AB上的投射点;
(2)如图③,
作法:
1、在格点上取点G,H,连接HG交BC于Q,(理由:△BQG∽△HQC)
2、作点A关于BC的对称点A',连接A'Q并延长交AC于P,(∠AQB=∠A'QB=∠PQC)
即:点P就是所求作的点;
(3)存在,
如图④,作点C关于AB的对称点C′,连接BC',AC',
则四边形ACBC′为正方形,
作点A关于BC的对称点A′,连接A'C'交AB于D,交BC于E,
即:点D,E是所求作的点,
∴C′,D,E,A在同一直线上,
CA′=CA=C′A=C′B=BC,CD=C′D,
∴△C′BE≌△A′CE,
∴BE=BC=
C′A,
∵AC′∥BC,
∴△BDE∽△ADC′,
∴,
∴.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC三个顶点都在格点上,点A、B.C的坐标分别为A(-1,3),B(-3,1),C(-1,1).请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出B1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2;
(3)求出点A1走过的路径长.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,E为AB的中点.
(1)求证:△ADC∽△ACB;
(2)CE与AD有怎样的位置关系?试说明理由;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D,BA的延长线交⊙A于点E,连接CE,CD,F是⊙A上一点,点F与点C位于BE两侧,且∠FAB=∠ABC,连接BF.
(1)求证:∠BCD=∠BEC;
(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sin∠ABF的值.
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【题目】在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的5个小球,其中红球3个,黑球2个.
(1)若先从袋中取出x(x>0)个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A,若A为必然事件,则x的值为 ;
(2)若从袋中随机摸出2个球,正好红球、黑球各1个,用画树状图或列表法求这个事件的概率.
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【题目】为深化课程改革,某校为学生开设了形式多样的社团课程,为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度,学校随机抽取七年级部分学生进行调查,从A:文学签赏,B:科学探究,C:文史天地,D:趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程(被调查者限选一项),并将调查结果绘制成两个不完整的统计图,如图所示,根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查的总人数为多少人,扇形统计图中A部分的圆心角是多少度.
(2)请补全条形统计图.
(3)根据本次调查,该校七年级840名学生中,估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少?
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【题目】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
(1)当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出________件;
(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
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【题目】如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向,点B的北偏东30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°.
(1)求B,D之间的距离;
(2)求C,D之间的距离.
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