Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点B重合，以BP为边在BC上方作正方形BPEF，设正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长；
（2）当点E落在线段AC上时，求t的值；
（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；
（4）设边BC的中点为O，点C关于点P的对称点为C′，以OC′为边在BC上方作正方形OC′MN，当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据PC=BC-BP可得出PC长度关于t的表达式，结合PC≥0即可得出t的取值范围；
（2）当点P落在线段AC上时，由正方形的性质可得知EP∥AB，由此得出△CPE∽△CBA，根据相似三角形的相似比即可得出结论；
（3）随着点P的运动，按正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同分情况考虑：①为正方形时，结合（2）结论可得知此时t的取值范围，由正方形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式；②为五边形时，由F点在线段AB上可得出此时t的取值范围，根据S=大三角形面积-2个小三角形的面积即可得出S关于t的函数关系式；③为梯形时，t为值域内剩下的部分，根据S=大三角形面积-小三角形面积即可得出S关于t的函数关系式；
（4）按运动的过程寻找，找出几个临界点，求出此时的t值，结合实际情况即可得出结论．

解答 解：（1）BP=2t，PC=BC-BP=8-2t，
∵$\left\{\begin{array}{l}{2t＞0}\\{8-2t≥0}\end{array}\right.$，
∴0＜t≤4．
故PC=-2t+8（0＜t≤4）．
（2）当点P落在线段AC上时，
∵EP∥AB，
∴△CPE∽△CBA，
∴$\frac{EP}{AB}=\frac{PC}{BC}$，即$\frac{2t}{6}=\frac{8-2t}{8}$，
解得：t=$\frac{12}{7}$．
（3）按P点运动的过程中正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同分3种情况考虑：

①当0＜t≤$\frac{12}{7}$时，如图1所示．
此时S=BP²=（2t）²=4t²；
②当$\frac{12}{7}$＜t≤3时，如图2所示．
此时BF=BP=2t，PC=8-2t，AF=6-2t，
∵NP∥AB，FM∥BC，
∴△CNP∽△CAB∽△MAF，
∴$\frac{PC}{NP}=\frac{BC}{AB}=\frac{FM}{AF}$，
∴NP=$\frac{3}{4}$PC=6-$\frac{3}{2}$t，FM=$\frac{4}{3}$AF=8-$\frac{8}{3}$t．
S=$\frac{1}{2}$BC•AB-$\frac{1}{2}$PC•NP-$\frac{1}{2}$FM•AF=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（8-2t）（6-$\frac{3}{2}$t）-$\frac{1}{2}$（8-$\frac{8}{3}$t）（6-2t）=-$\frac{25}{6}{t}^{2}$+28t-24；
③当3＜t≤4时，如图3所示．
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{PQ}{PC}=\frac{BA}{BC}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}$PC=6-$\frac{3}{2}$t．
S=$\frac{1}{2}$BC•AB-$\frac{1}{2}$PC•PQ=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$（8-2t）（6-$\frac{3}{2}$t）=-$\frac{3}{2}$t²+12t．
（4）根据P点的运动，画出正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时的临界点．

①当P点开始往右移动时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，达到图4所示情况时不再为三角形．
此时：OC′=ON，
∵点O为线段BC的中点，ON∥AB，
∴ON为△CAB的中位线，
∴OC′=ON=$\frac{1}{2}$AB=3，
CC′=OC′+OC=3+4=7，
∴PC=$\frac{1}{2}$CC′=$\frac{7}{2}$=8-2t，
解得：t=$\frac{9}{4}$．
即0＜t＜$\frac{9}{4}$；
②当P点运动到图5所示情况时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形开始为三角形．
此时MC′=$\frac{3}{4}$CC′=OC′，OC=OC′+CC′=4，
∴MC′=$\frac{12}{7}$，CC′=$\frac{16}{7}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$CC′=$\frac{8}{7}$=8-2t，
解得：t=$\frac{24}{7}$；
③当P点运动到图6所示情况，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，P再运动一点时不再为三角形．
此时OC′=ON=$\frac{1}{2}$AB=3，CC′=OC-OC′=4-3=1，
∴PC=$\frac{1}{2}$CC′=$\frac{1}{2}$=8-2t，
解得：t=$\frac{15}{4}$．
综上知：当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，t的取值范围为0＜t＜$\frac{9}{4}$和$\frac{24}{7}$＜t≤$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、解一元一次方程、一元一次不等式组以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据不等式组找出t的取值范围；（2）找出比例关系；（3）根据重合图形的不同分类讨论；（4）按P点的运动过程寻找临界点．本题属于中档题，难度不小，题中出现大量图形，深刻的体现了数形结合的重要性．