Question

10．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE=CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是平行四边形，当AE的长为$\frac{5}{3}$时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得到OA=OC，AD∥BC从而得出△AOE≌△COF，即可；
（2）由矩形的性质和菱形的性质得出线段的关系，利用勾股定理建立方程16+x²=（6-x）²，即可；
（3）由对折的性质得出线段和角相等，判断出角相等，从而判断A′B∥C′D，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可；
（4）由A′C′最短，只有点A′，C′在线段EF上，计算即可．

解答
（1）证明：如图1，连接AC，
∴点O在线段AC上，AD∥BC，OA=OC，
∴∠AOE=∠COF，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；

（2）解：如图2，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
由（1）有AE=CF，
∴DE=BF
Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴BE=DF，
∵EF=EF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
设AE=x，则DE=6-x，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=BD=6-x，
在Rt△ABE中，AB=4，
根据勾股定理，得 AB²+AE²=BE²，
∴16+x²=（6-x）²，
∴x=$\frac{5}{3}$．
故答案为平行四边形，$\frac{5}{3}$．

（3）解：如图3，连接BD，由（1）有，AE=CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠ABE=CDF，
∵沿BE翻折，点A落在A′处，
∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，
∴A′B=AB，∠ABE=∠A′BE=$\frac{1}{2}$∠ABA′
同理可得，C′D=CD，∠CDF=∠C′DF=$\frac{1}{2}$∠C′DC，
∴∠ABA′=∠C′DC，A′B=C′D，
∠ABO-∠ABA′=∠CDO-∠CDC′，
∴∠OBA′=∠ODC′，
∴A′B∥C′D，
∴四边形BA′DC′是平行四边形；

（4）解：由（3）可知，A'C'=2OA'，
∴A'C'最小时，OA'最小．
连接OB，在△A'OB中，
OA'≥A'B-OB，
∴OA'取最小值时，点B，O，A'共线；
即落在对角线上．
∴要使A′C′最小，只有点A′，C′落在矩形对角线BD上，
设AE=x，
∴EA′=x，DE=6-x，矩形的对角线BD=$\sqrt{{BC}^{2}{+CD}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
由对折有BA′=BA=4
∴DA′=BD-BA′=2$\sqrt{13}$-4，
在Rt△DEA′中，有DE²=EA′²+DA′²，
∴（6-x）²=x²+（2$\sqrt{13}$-4）²
∴x=$\frac{4\sqrt{13}-8}{3}$，
即：AE=$\frac{4\sqrt{13}-8}{3}$．

点评 本题是四边形的综合题，主要考查了四边形中的平行四边形和矩形的性质和判定，涉及到的知识点还有对折，三角形的全等，勾股定理，解本题的关键是判断三角形全等和对折的性质，本题的难点是作辅助线．