Question

如图所示，MN是圆O中一条固定的弦，劣弧MN的度数为120°，点C是圆O上一个动点（不与M、N重合）．连接MC、NC，D、E分别是NC和MC的中点，直线DE交圆O于点A、B．已知圆O的半径为

3

，那么在点C的运动过程中AE+BD的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：动点型

分析：判断出点C在劣弧MN上且点C在劣弧MN的中点时，AB的长度最小，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=

1

2

MN，从而得到此时AE+BD的值最小，连接OA、OM、连接OC与MN、AB分别相交于点F、G，然后求出OF、MF，再求出OG，然后利用勾股定理列式求出AG，再根据AE+BD=2AG-DE计算即可得解．

解答：解：∵D、E分别是NC和MC的中点，
∴点C在劣弧MN上且点C在劣弧MN的中点时，AB的长度最小，
此时DE=

1

2

MN，
连接OA、OM、连接OC与MN、AB分别相交于点F、G，
∵劣弧MN的度数为120°，
∴∠OMN=

1

2

（180°-120°）=30°，
∵圆O的半径为

3

，
∴OF=

1

2

×

3

=

3

2

，
MF=

3

2

×

3

=

3

2

，
∵D、E分别是NC和MC的中点，
∴FG=

1

2

（OC-OF）=

1

2

（

3

-

3

2

）=

3

4

，
∴OG=OF+FG=

3

2

+

3

4

=

3 3

4

，
在Rt△AOG中，AG=

AO2-OG2

=

( 3 )2-( 3 3 4 )2

=

21

4

，
∴AE+BD=2AG-DE=2×

21

4

-

3

2

=

21 -3

2

．
故答案为：

21 -3

2

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，难点在于判断出点C在在劣弧MN的中点时AE+BD的值最小．