Question

8．如图，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于点F，交AB于点E，连接DE．求证：∠CDF=∠ADE．

Answer 1

分析 在BD上截取BG=CE，利用SAS证明△ACE与△CBG全等，进而证明△ADE与△CDG全等，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：在BD上截取BG=CE，连接CG，如图：
∵CE⊥BD，
∴∠BCA=∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CBD=∠ACE，
在△ACE与△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBD=∠ACE}\\{BG=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴CG=AE，∠BCG=∠A=45°，
∴∠GCD=45°，
在△ADE与△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠GCD=∠A=45°}\\{CG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠CDF=∠ADE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是在BD上截取BG=CE，利用SAS证明△ACE与△CBG全等．