Question

19．如图①，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段AC上一点，过点A作直线BE的垂线，垂足为点G，交直线OB于点F，易证：OE=OF
（1）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，其他条件不变，线段OE，OF有怎样的数量关系，写出你猜想并给予证明；
（2）若∠BAF=15°，AB=2，则OF=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，由等腰三角形的性质得到∠ABC=120°，根据三角形的内角和得到∠ACB=∠BAC=30°，于是得到AO=$\sqrt{3}$OB，由对顶角线段得到∠GBF=∠OBE，推出∠AFO=∠OEB，在Rt△AOF中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OF}$，在Rt△OBE中，tan∠OEF=$\frac{OB}{OE}$，等量代换得到$\frac{OA}{OF}=\frac{OB}{OE}$，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠GAE=45°，求得AO=OF，解直角三角形得到AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：（1）OF=$\sqrt{3}$OE，
理由：在菱形ABCD中，
∵AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，
∴∠BOC=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴AO=$\sqrt{3}$OB，
∵AG⊥BE，
∴∠BGF=90°，
∵∠GBF=∠OBE，
∴∠AFO=∠OEB，
在Rt△AOF中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OF}$，
在Rt△OBE中，tan∠OEF=$\frac{OB}{OE}$，
∴$\frac{OA}{OF}=\frac{OB}{OE}$，
即$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$OE；

（2）∵∠OAB=30°，∠GAB=15°，
∴∠GAE=45°，
∵∠AOF=90°，
∴∠F=45°，
∴AO=OF，
∵∠BAO=30°，AB=2，
∴AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．