Question

【题目】如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；

（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；

（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（3，5）；（3）点Q坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）

【解析】

（1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式；

（2）设P(m，﹣m2+m+4)，先求出AC的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出PE的长，从而求得用m表示的△PCA的面积，最后根据二次函数的特点，求出最值；

（3）设设点Q的坐标为（2，m），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3种情况，一种是∠QAP=90°，第二种是∠AQP=90°，第三种是∠QPA=90°时，利用勾股定理分别求解即可．

解：（1）把A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，4)的坐标代入y＝ax2+bx+c，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．

（2）作PE∥OC交AC于E．

设P(m，﹣m2+m+4)．

设直线AC的解析式为y＝kx+d

将点A和点C的坐标代入，得

解得：

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，

∴E(m，﹣m+4)，

∴PE＝﹣m2+2m，

∴S△PAC＝×(﹣m2+2m)×6＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3时，△PAC的面积最大，

∴P(3，5)．

（3）∵A(6，0)，P(3，5)，抛物线y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x=2

∴可设点Q的坐标为（2，m）

∴AQ2=

PQ2=

AP2=

①当∠QAP=90°时，则AQ2＋AP2= PQ2

即＋34=

解得：m=

∴Q(2，)

②当∠AQP=90°时，则AQ2＋PQ2= AP2

即＋=34

解得：m1=1，m2=4

∴Q(2，1)或(2，4)

③当∠QPA=90°时，则AP2＋PQ2= AQ2

即34＋=

解得：m=

∴Q(2，)

综上所述，满足条件的点Q坐标为(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)．