【题目】某数学小组用高为1.2米的仪器测量一教学楼的高CD,如图,距CD一定距离的A处,用仪器测得教学楼顶部D的仰角为β,再在A与C之间选一点B,由B处测出教学楼顶部D的仰角为α,测得A,B之间的距离为4米,若tanα=1.6,tanβ=1.2,则他们能求出教学楼的高吗?
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【题目】阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1 , x2 ,
① 若x1<x2 , 都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;
②若x1<x2 , 都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.
例题:证明函数f(x)= (x>0)是减函数.
证明:假设x1<x2 , 且x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = =
∵x1<x2 , 且x1>0,x2>0
∴x2﹣x1>0,x1x2>0
∴ >0,即f(x1)﹣f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)= (x>0)是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
(1)函数f(x)= (x>0),f(1)= =1,f(2)= = .
计算:f(3)= , f(4)= , 猜想f(x)= (x>0)是函数(填“增”或“减”);
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.
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【题目】已知A,B,C,D,E,F分别是⊙O上的六等分点,⊙O的半径是100,在这六点间修建互通的道路(即图中实线部分为道路),现有如下两种方案.方案一:如图1,各条线段长度均相等,记图中道路长为l1;方案二:如图2,AQ=BG=CH=DM=EN=FP,点G,H,M,N,P,Q分别是线段AQ,BG,CH,DM,EN,FP的中点,六边形GHMNPQ是以O为中心的正六边形,记图中道路长为l2;则l1= ;l2= .
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【题目】已知直线y=﹣ x+3与两坐标轴分别相交于A,B两点,若点P,Q分别是线段AB,OB上的动点,且点P不与A,B重合,点Q不与O,B重合.
(1)若OP⊥AB于点P,△OPQ为等腰三角形,这时满足条件的点Q有几个?请直接写出相应的OQ的长;
(2)当点P是AB的中点时,若△OPQ与△ABO相似,这时满足条件的点Q有几个?请分别求出相应的OQ的长;
(3)试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△OPQ?若存在,求出相应的OQ的范围,并求出OQ取最小值时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′,则点B转过的路径长为 .
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【题目】阅读材料
如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB,EF的中点均为O,连结BF,CD、CO,显然点C,F,O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB,EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出 的值(用含α的式子表示出来)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△A1A2A3 , △A3A4A5 , △A5A6A7 , △A7A8A9 , …,都是等边三角形,且点A1 , A3 , A5 , A7 , A9的坐标分别为A1(3,0),A3(1,0),A5(4,0),A7(0,0),A9(5,0),依据图形所反映的规律,则A100的坐标为 .
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