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【题目】如图,二次函数yax2+bx+c的图象过点A30),对称轴为直线x1,给出以下结论:abc0a+b+cax2+bx+cMn2+1y1),Nn2+2y2)为函数图象上的两点,则y1y2若关于x的一元二次方程ax2+bx+cpp0)有整数根,则p的值2个.有其中正确的有(  )个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

由抛物线的开口方向判断a0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

∵抛物线开口向下,∴a0

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣10,∴b0

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c0

abc0,故正确;

∵当x1时,函数有最大值,

a+b+cax2+bx+c,故正确;

∵抛物线的对称轴是x1,则Mn2+1y1),Nn2+2y2)在对称轴右侧,n2+1n2+2

y1y2,故正确;

∵抛物线的对称轴是x1,与x轴的一个交点是(30),

∴抛物线与x轴的另个交点是(﹣10),

把(30)代入yax2+bx+c得,09a+3b+c

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1

b=﹣2a

9a6a+c0

解得,c=﹣3a

yax22ax3aax124aa0),

∴顶点坐标为(1,﹣4a),

由图象得当0y≤﹣4a时,﹣1x3,其中x为整数时,x012

又∵x0x2关于直线x1轴对称

x1时,直线yp恰好过抛物线顶点.

所以p值可以有2个.故正确;

故选:D

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