Question

【题目】如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）如图2，点E、F分别在AB、BC上，连接EF，M是EF的中点，过M作EF的垂线交BD于P．求证：AE+CF＝PD；

（3）如图3，在（2）条件下，连AF，若AE＝CF，∠DAF＝2∠AFE＝2α，AF＝13，BC＝12，（BC＞AB）．求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）17

【解析】

（1）作DG⊥BC于G，DH⊥BA于H，通过证明△DAH≌△DCG可证点D到BA和BC的距离相等；

（2）PM是中垂线，因此连接PE、PF，有PE＝PF，由第（1）问可知∠ABD＝∠CBD，则B、E、P、F四点共圆，推出∠EPF是直角，将△BEP绕点P逆时针旋转90°至△NFP，可以得出BE+BF＝BP，注意四边形ABCD的结构与四边形PEBF结构一样，因此同理可得AB+BC＝BD，进而得出所证结论．

（3）由于AE＝CF，因此可以考虑CF为边在BC上方构造△QCF≌△FEA，连接AQ、AC．可以推出△AFQ是等腰直角三角形，同时注意△ACD也是等腰直角三角形，∠CAQ是两个45°的重叠角，于是∠CAQ＝90﹣2α，然后可推出AC＝AQ，而AQ＝AF＝13，BC已知，由勾股定理可算出AB长度，根据第（2）问中的结论，BD长度就自然得出．

解：（1）如图1，作DG⊥BC于G，DH⊥BA于H．

则∠DHA＝∠DGC＝90°．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BAD+∠DAH＝180°，

∴∠DAH＝∠DCG，

在△DAH和△DCG中：

，

∴△DAH≌△DCG（AAS），

∴DH＝DG，

∴BD平分∠ABC．

（2）如图2，连接PE、PF，

∵M为EF中点且PM⊥EF，

∴PE＝PF，

∵∠EBP＝∠FBP，

∴P、E、B、F四点共圆，

∴∠PEB+∠PFB＝∠EBF+∠EPF＝180°，

∴∠EBF＝90°，

∴∠EPF＝90°，

在FC上截取FN＝BE，连接PN．

∴∠PFN+∠PFB＝180°，

∴∠PFN＝∠PEB，

在△PEB和△PFN中：

，

∴△PEB≌△PFN（SAS），

∴PB＝PN，∠EPB＝∠FPN

∴∠BPN＝∠BPF+∠FPN＝∠BPF+∠EPB＝∠EPF＝90°，

∴△BPN是等腰直角三角形，

∴BN＝BP，

∵BN＝BF+FN＝BF+BE，

∴BE+BF＝BP，

同理可证BA+BC＝BD，

∴AE+BE+BF+FC＝(BP+PD)＝BP+PD，

∴AE+CF＝PD．

（3）如图3，作△QCF≌△FEA，连接AQ、AC．

则∠EAF＝∠CFQ，AF＝FQ，∠FQC＝∠AFE＝α，

∵∠EAF+∠AFB＝90°，

∴∠CFQ+∠AFB＝90°，

∴∠AFQ＝90°，

∴△AFQ是等腰直角三角形，

∴AQ＝AF＝13，∠FAQ＝∠FQA＝45°，

∵AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DAC+∠FAQ＝∠DAF+∠QAC＝90°，

∴∠QAC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣2α，

∵∠AQC＝∠AQF+∠FQC＝45°+α，

∴∠ACQ＝180°﹣∠QAC﹣∠AQC＝45°+α，

∴AC＝AQ＝13，

∵BC＝12，

∴AB＝5，

由（2）可知AB+BC＝BD，

∴BD＝(AB+BC)＝17．