Question

8．如图，无论非零的a取何值，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M都在直线y_AE=kx+1上（E、A分别在x轴、y轴上），且OA=OE．
（1）求k的值；
（2）求b、c的值；
（3）直线y_AB=mx+n和抛物线只有一个公共点，MB∥x轴，BC⊥x轴分别交抛物线、直线AE于C、D，试探索CD与BC间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式可得点A的坐标为（0，1），则可得点E的坐标为（-1，0），代入直线解析式，可求出k的值．
（2）将顶点M的坐标代入直线解析式，再由无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，可得出b、c的值．
（3）根据抛物线与直线只有一个交点，求出m的值，继而得出B、C、D的坐标，求出BC、CD的长度，即可得出CD和BC的数量关系．

解答 解：（1）∵直线解析式为y_AE=kx+1，
∴点A的坐标为（0，1），
又∵OA=OE
∴点E的坐标为（-1，0），
将点E的坐标代入直线解析式可得：0=-k+1，
解得：k=1；
（2）将顶点M的坐标（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）代入y=x+1得：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{b}{2a}$+1．
整理得关于a的一元一次方程：（4c-4）a=b²-2b．
∵该方程有无数个解，
∴4c-4=0，且b²-2b=0．
∴c=1；
又∵b≠0，
∴b=2．
或：取a的两个特殊值1、2，可求得点M的坐标分别为（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$）、（-$\frac{b}{4}$，$\frac{8c-{b}^{2}}{8}$）．
把它们分别代入y=x+1并化简得方程组$\left\{\begin{array}{l}{b^2}-2b=4c-4\\{b^2}-2b=8c-8.\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2（b≠0）}\\{c=1}\end{array}\right.$．
（3）由（2）知：抛物线的解析式为y=ax²+2x+1．
∴该抛物线经过点A．
由题意知：关于x的一元二次方程ax²+2x+1=mx+1即ax²+（2-m）x=0的△=0．
∴（2-m）²=0．
∴m=2．
∴直线AB的解析式为y=2x+1．
∵y_B=y_M=1-$\frac{1}{a}$，
把它代入y=2x+1可求得：x_B=-$\frac{1}{2a}$．
∵BC⊥x轴分别交抛物线、直线AE于C、D，
∴x_C=x_D=x_B=-$\frac{1}{2a}$．
把它们分别代入y=ax²+2x+1、y=x+1可求得：y_C=-$\frac{3}{4a}$+1，y_D=-$\frac{1}{2a}$+1．
∴CD=y_C-y_D=-$\frac{1}{4a}$，BC=y_B-y_C=-$\frac{1}{4a}$．
∴CD=BC．

点评 本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、顶点坐标公式，抛物线与直线的交点问题的知识点，以及方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．