Question

19．若抛物线y=x²-4x+4-t（t为实数）在0＜x＜3的范围内与x轴有公共点，则t的取值范围为（　　）

• A． 0＜t＜4
• B． 0≤t＜4
• C． 0＜t＜1
• D． t≥0

Answer 1

分析 先利用配方法得到抛物线的顶点为（2，-t），再分类讨论：当抛物线与x轴的公共点为顶点时，-t=0，解得t=0；当抛物线在0＜x＜3的范围内与x轴有公共点，如图，顶点在x轴下方，所以t＞0，当抛物线在原点与对称轴之间与x轴有交点时，x=0，y＞0，所以4-t＞0，解得t＜4；当抛物线在（3，0）与对称轴之间与x轴有交点时x=3，y＞0，即1-t＞0，解得t＜1，所以此时t的范围为0＜t＜4，综上两种情况即可得到t的范围为0≤t＜4．

解答 解：y=x²-4x+4-t=（x-2）²-t，
抛物线的顶点为（2，-t），
当抛物线与x轴的公共点为顶点时，-t=0，解得t=0，
当抛物线在0＜x＜3的范围内与x轴有公共点，如图，-t＜0，解得t＞0，则x=0时，y＞0，即4-t＞0，解得t＜4；x=3时，y＞0，即1-t＞0，解得t＜1，此时t的范围为0＜t＜4，
综上所述，t的范围为0≤t＜4．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．运用数形结合的思想是解决本题的关键．