Question

14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．则正方形ABCD的面积为5，延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，则正方形A₁B₁C₁C的面积为$\frac{45}{4}$；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面积为5×${（{\frac{9}{4}}）^{2015}}$．

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A₁B₁C₁C的面积，得出规律，根据规律即可求出正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面积．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{5}$）²=5，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积=（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=5×$\frac{9}{4}$=$\frac{45}{4}$，…，第n个正方形的面积为5×（$\frac{9}{4}$）ⁿ，
∴第2015个正方形即A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面积为5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵；
故答案为：5，$\frac{45}{4}$，5×${（{\frac{9}{4}}）^{2015}}$．

点评 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面积得出规律是解决问题的关键．