Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnnDn．下列结论正确的有（　　）

①四边形A2B2C2D2是矩形；

②四边形A4B4C4D4是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长是

④四边形AnBnnDn的面积是．

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由两组对边平行，证明出A1B1C1D1是平行四边形，再根据四边都相等，证明出是菱形.

②由①知四边形A2B2C2D2是菱形，根据中位线定理，四边形A4B4C4D4是菱形.

③根据中位线性质得到每边长的关系，从而计算出周长.

④三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半.

①连接A1C1，B1D1．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；

∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，

∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；

∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），

∴四边形A2B2C2D2是菱形；

故①错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；

故②正确；

③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD

∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；

故③正确；

④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

∴S四边形ABCD＝ab÷2；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBnnDn的面积是；

故④正确；

综上所述，②③④正确．

故选：C．