Question

【题目】问题探究：

（一）（新知学习）：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二）（问题解决）：已知⊙O的直径为4，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）若直径AB⊥CD，点P为上一动点（不与B、C重合）（如图一）．

① 证明：四边形PMON内接于某圆；②证明MN的长为定值，并求其定值；

（2）若直径AB与CD相交成120°角．

① 当点P运动到的中点时（如图二），求MN的长；

② 当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．

（3）试问当直径AB与CD相交角∠BOC=______度时，MN的长取最大值，其最大值为_____．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）①，②MN是定值；（3）当直径AB与CD相交成90°角时，MN取得最大值2.

【解析】

（1）如图一，易证∠PMO＋∠PNO＝180°，从而可得四边形PMON内接于圆；②易证四边形PMON是矩形，则有MN＝OP＝2，问题得以解决；

（2）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1＝∠BOP1＝60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N＝60°．根据角平分线的性质可得P1M＝P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN＝P1M．然后在Rt△P1MO中运用含30°直角三角形的性质即可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，在Rt△QMN中运用含30°直角三角形的性质可得MQ=1，然后利用勾股定理即可解决问题；

（4）由MN是直径为OP的圆内的一条弦，根据圆中最长的弦是直径，进行分析解答即可．

解：（1）①如图一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，

∴∠PMO=∠PNO=90°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∴四边形PMON内接于圆；

②如图一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，

∴MN的长为定值，该定值为2；

（2）①如图二，

∵P1是的中点，∠BOC=120°

∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°．

∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，

∴P1M=P1N，∠MP1O=30°，

∴△P1MN是等边三角形，

∴MN=P1M．

∵OM=P1O=1

∴P1M=，

∴MN=；

②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，

交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，

则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，

∴∠MNQ=30°，

在Rt△QMN中，MQ=NQ=1

∴MN=

∴MN是定值．

（3）由题意可知，MN是直径为OP=2的圆内的一条弦，

∴MN的最大值为2，

∴当∠BOC=90°时，在矩形PMON中，MN=OP=2，

即当直径AB与CD相交角∠BOC=90°时，MN的长取最大值，其最大值为2．