【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣10ax+16a(a≠0)交x轴于A、B两点,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点H,且AB=2DH.
(1)求a的值;
(2)点P是对称轴右侧抛物线上的点,连接PD,PQ⊥x轴于点Q,点N是线段PQ上的点,过点N作NF⊥DH于点F,NE⊥PD交直线DH于点E,求线段EF的长;
(3)在(2)的条件下,连接DN、DQ、PB,当DN=2QN(NQ>3),2∠NDQ+∠DNQ=90°时,作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C,求点C的坐标.
【答案】(1);(2)3;(3)点C(﹣1,9)..
【解析】试题分析:(1)根据y=ax2-10ax+16a可以求得当y=0时,x的值,从而可以求得点A、B的坐标,由抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点H,且AB=2DH,从而可以求得a的值;
(2)根据已知条件作出相应的图形,然后根据题意题目中的数量关系,通过灵活变形可以求得EF的长;
(3)根据题意可以画出相应的图形,然后根据题目中的关系,利用三角形相似,灵活变化可以求得点C的坐标.
试题解析:(1)令y=0,得x=2或x=8,∴点A(2,0),B(8,0),∴AB=6,
∵AB=2DH,∴DH=3,
∵OH=2+,∴D(5,﹣3),∴﹣3=a×52﹣10a×5+16a,得a=;
(2)如图1,过点D作PQ的垂线,交PQ的延长线于点M,
∵NE⊥PD,∴∠DPN+∠PNE=90°,∵NF⊥DE,∴∠FEN+∠FNE=90°,
又∵DH⊥x轴,PQ⊥x轴,∴DE∥PQ,∴∠FEN=∠PNE,∴∠DPM=∠ENF,∴△EFN∽△DMP,
∴,设点P(t, ),则FN=DM=t﹣5,PM=+3,代入解得EF=3;
(3)如图2,作QG⊥DN于点G,∵DF∥PQ,∴∠FDN=∠DNQ,∵2∠NDQ+∠DNQ=90°,
∴2∠NDQ+∠FDN=90°,∵∠FDM=90°,∴∠NDM=2∠NDQ,∴∠NDQ=∠MDQ,∴QG=QM=DH=3,
设QN=m,则DN=2m,∵sin∠DNM=,sin∠QNG=,sin∠DNM=sin∠QNG,
∴,得DM=6=DG,∴OQ=5+6=11,
∴点P的纵坐标是: =9,∴点P(11,9),
∵NG=2m﹣6,在Rt△NGQ中,QG2+NG2=QN2,
∴32+(2m﹣6)2=m2,得,m=3(舍)或m=5,
设C(n, ),作CK⊥x轴于点K,作NF⊥CK于点K,则CT=,NT=11﹣n,
∵P(11,9),则BQ=11﹣8=3,PQ=9,
∵CN⊥PB,PQ∥CK,PQ⊥x轴, ∴△CTN∽△BQP,
∴, 即, 解得,n=﹣1或n=10(舍去),
∴点C(﹣1,9).
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是x与y的几组对应值.
... | 1 | 2 | 3 | ... | ||||||||
... | m | ... |
求m的值;
(3)如图,在平面直角坐标系中,已描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,).结合函数的图象,写出该函数的其它性质(写两条即可).
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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为_____.
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【题目】如图,已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.
(1)求证:CD平分∠ECA.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.
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【题目】自驾游是当今社会一种重要的旅游方式,五一放假期间小明一家人自驾去灵山游玩,下图描述了小明爸爸驾驶的汽车在一段时间内路程s(千米)与时间t(小时)的函数关系,下列说法中正确的是( )
A. 汽车在0~1小时的速度是60千米/时; B. 汽车在2~3小时的速度比0~0.5小时的速度快;
C. 汽车从0.5小时到1.5小时的速度是80千米/时; D. 汽车行驶的平均速度为60千米/时.
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【题目】某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件销售价x(元)的关系数据如下:
x | 30 | 32 | 34 | 36 |
y | 40 | 36 | 32 | 28 |
(1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式.(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元,那么每件商品的销售价应定为多少元?
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元),求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PM^AD,PN^CD,垂足分别为M、N。
(1)求证:ADB=CDB;
(2)若ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形。
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