Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝4．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B→C→D→A的方向运动，回到点A停止运动．设运动时间为t秒．

（1）当t= 时，点P到达点C；当t= 时，点P回到点A;

（2）△ABP面积取最大值时t的取值范围；（3）当△ABP的面积为3时，求t的值；

（4）若点P出发时，点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→D→C→B→A的方向运动，回到点A停止运动．请问：P 、Q何时在长方形ABCD的边上相距1个单位长度？

Answer 1

【答案】（1）当t=10，点p到点C，当t=20，点p到点A；（2）10≤t≤14；（3）t=5.5或t=18.5； (4)t=或 t=7.

【解析】

（1）根据长方形ABCD的边长和点P的运动速度进行计算即可；

（2）由图可知，当点P在边CD上运动时，△ABP的面积最大，由此根据已知条件计算出点P在边CD上运动所对应的时间范围即可；

（3）如图1和图2，分点P在BC上和AD上两种情况结合已知条件解答即可；

（4）由题意可知，点P、Q在长方形ABCD上从A点出发，作相向运动，因此存在以下两种情况： ①点P、Q相遇前相距1个单位长度，如下图3所示；②点P、Q相遇后相距1个单位长度，如下图4所示；结合已知条件分这两种情况解答即可.

（1）∵AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，

∴AB+BC=10，AB+BC+CD+DA=20，

又∵点P的移动速度为每秒1个单位长度，

∴点P由A到C所需时间为：10÷1=10（秒），

点P由A出发回到A所需时间为：20÷1=20（秒）；

（2）由图可知，当点P在边CD上运动时，△ABP的面积最大，

∵AB+BC+CD=14，

∴点P移动到点D的时间为：14÷1=14（秒），

又∵点P移动到点C的时间为10秒，

∴当△ABP的面积最大时，；

（3）①如图1，当点P在边BC上时，由已知可得：AB=4，PB=（t-4），由题意可得：

S△ABP=，解得：；

②如图2，当点P在边AD上时，由已知可得：AB=4，AP=（20-t），由题意可得：S△ABP=，解得：，

综上所述，当t=5.5或t=18.5时，△ABP的面积为3.

（4）①如图3，当点P、Q相遇前相距1个单位长度时，

由题意可得：，解得：；

②如图4，当点P、Q在相遇后相距1个单位长度时，由题意可得：

，解得：，

综上所述，当或时，点P、Q在长方形ABCD的边上相距1个单位长度.