【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,点M是AC边的中点,点N是BC边上的任意一点,若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上,则CN的长为_____.
【答案】或
【解析】
根据题意分三种情况讨论,分别作图取BC、AB的中点H、G,连接MH、HG、MG,①当点C′落在MH上时,设NC=NC′=x,则MC=MC′=4,MH=5,HC′=1,HN=3﹣x,根据Rt△HNC′中,HN2=HC′2+NC′2,列式求解;②当点C′落在GH上时,设NC=NC′=x,Rt△GMC′中,MG=CH=3,MC=MC′=4,求出GC′=,再证明△HNC′∽△GC′M,根据,即可求出x,③,当点C′落在直线GM上时,易证四边形MCNC′是正方形,可得CN=CM=2,由C'M>GM,故点C′在中位线GM的延长线上,不符合题意.
解:取BC、AB的中点H、G,连接MH、HG、MG.
如图1中,当点C′落在MH上时,设NC=NC′=x,
由题意可知:MC=MC′=4,MH=5,HC′=1,HN=3﹣x,
在Rt△HNC′中,∵HN2=HC′2+NC′2,
∴(3﹣x)2=x2+12,
解得x=.
如图2中,当点C′落在GH上时,设NC=NC′=x,
在Rt△GMC′中,MG=CH=3,MC=MC′=4,
∴GC′=,
∵∠NHC'=∠C'GM=90°,∠NC'M=90°,
∴∠HNC'+∠HC'N=∠GC'M+∠HC'N=90°,
∴∠HNC'=∠CGC'M,
∴△HNC′∽△GC′M,
∴,
∴,
∴x=.
如图3中,当点C′落在直线GM上时,易证四边形MCNC′是正方形,可得CN=CM=2.
∴C'M>GM,
此时点C′在中位线GM的延长线上,不符合题意.
综上所述,满足条件的线段CN的长为或.
故答案为:或.
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【题目】(1)尺规作图:如图,、是平面上两个定点,在平面上找一点,使构成等腰直角三角形,且为直角顶点.(画出一个点即可)
(2)在(1)的条件下,若,,则点的坐标是________.
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【题目】发现问题:如图1,直线a∥b,点B、C在直线b上,点D为AC的中点,过点D的直线与a,b分别相交于M、N两点,与BA的延长线交于点P,若△ABC的面积为1,则四边形AMNB的面积为 ;
探究问题:如图2,Rt△ABC中,∠DAC=∠BAC,DA=2,求△ABC面积的最小值;
拓展应用:如图3,矩形花园ABCD的长AD为400米,宽CD为300米,供水点E在小路AC上,且AE=2CE,现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN,使得MN经过E,并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉,剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小.请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值,及面积取最小时点M、N的位置.(小路的宽忽略不计)
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【题目】某竹制品加工厂根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测,并建立如下模型:设第t个月,竹制品销售量为P(单位:箱),P与t之间存在如图所示函数关系,其图象是线段AB(不含点A)和线段BC的组合.设第t个月销售每箱的毛利润为Q(百元),且Q与t满足如下关系Q=2t+8(0≤t≤24).
(1)求P与t的函数关系式(6≤t≤24).
(2)该厂在第几个月能够获得最大毛利润?最大毛利润是多少?
(3)经调查发现,当月毛利润不低于40000且不高于43200元时,该月产品原材料供给和市场售最和谐,此时称这个月为“和谐月”,那么,在未来两年中第几个月为和谐月?
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【题目】(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时,;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】每年5月的第二个星期日即为母亲节,“父母恩深重,恩怜无歇时”,许多市民喜欢在母亲节为母亲送花,感恩母亲,祝福母亲.今年节日前夕,某花店采购了一批鲜花礼盒,经分析上一年的销售情况,发现该鲜花礼盒的该周销售量y(盒)是销售单价x(元)的一次函数,已知销售单价为70元/盒时,销售量为160盒;销售单价为80元/盒时,销售量为140盒.
(1)求该周销售量y(盒)关于销售单价x(元)的一次函数解析式;
(2)若按去年方式销售,已知今年该鲜花礼盒的进价是每盒50元,商家要求该周至少要卖110盒,请你帮店长算一算,要完成商家的销售任务,销售单价不能超过多少元?
(3)在(2)的条件下,试确定销售单价x为何值时,花店该周销售鲜花礼盒获得的利润最大?并求出获得的最大利润.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为__________.
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【题目】为了解学生身高,某校随机抽取了25位同学的身高,按照身高分为:A,B,C,D,E五个小组,并绘制了如下的统计图,其中每组数据均包含最小值,不包含最大值.
请结合统计图,解决下列问题:
(1)这组数据的中位数落在_____组;
(2)根据各小组的组中值,估计该校同学的平均身高;
(3)小明认为在题(2)的计算中,将D,E两组的组中值分别用1.70m和1.90m进行替换,并不影响计算结果.他的想法正确吗?请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若,,求直径AC的长及点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求的周长.
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