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【题目】如图,在RtABC中,∠ACB90°BC6AC8,点MAC边的中点,点NBC边上的任意一点,若点C关于直线MN的对称点C恰好落在ABC的中位线上,则CN的长为_____

【答案】

【解析】

根据题意分三种情况讨论,分别作图取BCAB的中点HG,连接MHHGMG,①当点C落在MH上时,设NCNCx,则MCMC4MH5HC1HN3x,根据Rt△HNC中,HN2HC2+NC2,列式求解;当点C落在GH上时,设NCNCxRt△GMC中,MGCH3MCMC4,求出GC,再证明HNC′∽△GCM,根据,即可求出x,③,当点C落在直线GM上时,易证四边形MCNC是正方形,可得CNCM2,由C'MGM,故点C在中位线GM的延长线上,不符合题意.

解:取BCAB的中点HG,连接MHHGMG

如图1中,当点C落在MH上时,设NCNCx

由题意可知:MCMC4MH5HC1HN3x

Rt△HNC中,HN2HC2+NC2

3x2x2+12

解得x

如图2中,当点C落在GH上时,设NCNCx

Rt△GMC中,MGCH3MCMC4

GC

NHC'C'GM90°NC'M90°

∴∠HNC'+∠HC'NGC'M+∠HC'N90°

∴∠HNC'CGC'M

∴△HNC′∽△GCM

x

如图3中,当点C落在直线GM上时,易证四边形MCNC是正方形,可得CNCM2

C'MGM

此时点C在中位线GM的延长线上,不符合题意.

综上所述,满足条件的线段CN的长为

故答案为:

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1)问题发现

时,时,

2)拓展探究

试判断:当0°≤α360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.

3)问题解决

△EDC旋转至ADE三点共线时,直接写出线段BD的长.

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1)求该周销售量y(盒)关于销售单价x(元)的一次函数解析式;

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3)在(2)的条件下,试确定销售单价x为何值时,花店该周销售鲜花礼盒获得的利润最大?并求出获得的最大利润.

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