Question

【题目】发现问题：如图1，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为 ；

探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC=∠BAC，DA=2，求△ABC面积的最小值；

拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE=2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）

Answer 1

【答案】发现问题： S四边形AMNB =1；探究问题：当BC与GE重合时，△ABC的面积最小，最小值为2；拓展应用：四边形AMCN的面积的最小值=80000平方米，此时CM=CF=GH=米，CN=CH=200米

【解析】

发现问题：证明△ADM≌△CDN（ASA），即可解决问题；

探究问题：如图2中，延长AD到F，使得DF=DA，作FG⊥AB于G，FE⊥AC交AC的延长线于E，利用矩形是中心对称图形，过对称中心的直线平分矩形的面积解决问题即可；

拓展应用：如图3中，取AE的中点G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，连接FH．首先证明S四边形AMCN=3S△CMN，当△CMN的面积最小时，四边形AMCN的面积最小，利用探究问题中的方法解决问题即可．

发现问题：如图1中，

∵a∥b，

∴∠MAD=∠NCD，

∵AD=DC，∠ADM=∠CDN，

∴△ADM≌△CDN（ASA），

∴S△ADM=S△CDN，

∴S四边形AMNB=S△ABC=1，

故答案为1．

探究问题：如图2中，延长AD到F，使得DF=DA，作FG⊥AB于G，FE⊥AC交AC的延长线于E，

∵∠FEA=∠FGA=∠GAE=90°，

∴四边形AEFG是矩形，

∵∠DAC=∠BAC=30°，AD=DF=2，

∴AF=4，EF=AF=2，AE=EF=2，

∴S矩形AEFG=4，

∵矩形AEFG是中心对称图形，D是对称中心，

∴过点D的任意直线平分矩形AEFG的面积，

∴S四边形ACGH=S矩形ABCD=2，

∵S△ABC≥S四边形ACHG，

∴S△ABC≥2，

∴当BC与GE重合时，△ABC的面积最小，最小值为2．

拓展应用：如图3中，取AE的中点G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，连接FH．

易知四边形GHCF是矩形，

∵AE=2EC，AG=EG，

∴EC=EG，

∴点E在FH上，

∵AC=3EC，

∴S△ACM=3S△ECM，S△ACN=3S△ECN，

∴S四边形AMCN=3S△CMN，

∴当△CMN的面积最小时，四边形AMCN的面积最小，

∵矩形CFGH是中心对称图形，

由探究问题可知：当MN与FH重合时，△MCN的面积最小，

AC==500（米），

∴CG=×500=（米），

∵GH∥AD，

∴，

∴，

∴GH=（米），CH=200（米），

∴△MCN的面积的最小值=（平方米），

∴四边形AMCN的面积的最小值=80000（平方米），此时CM=CF=GH=（米），CN=CH=200（米）