Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若，，求直径AC的长及点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）AC=5，B到AC的距离为：4；

（3）.

【解析】

（1））根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线；

（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP= sin∠DBC，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离，连接AN,然后再在直角三角形中利用三角函数求得AC即可；

（3）由BD∥PC求得△ABD∽△APC，利用对应边成比例求得CP、BP的长度，从而求得△BCP的周长.

解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°，

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°，

又∵AC是⊙O的直径，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图：

作BD⊥AC于点D，

∵PC⊥AC，

∴BD∥PC，

∴∠PCB=∠DBC

∵BC=2，sin∠BCP=，

∴sin∠BCP= sin∠DBC=，解得：DC=2，

∴由勾股定理得：BD=4，

∴点B到AC的距离为4；

连接AN，在Rt△ACN中，CN= ,

∴AC==5；

（3）∵CD=2，

∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC=5，

∵BD∥CP，

∴△ABD∽△APC，

∴，即，

∴CP=，PB=,

∴△BCP的周长为BC+CP+BP=++=.