Question

14．已知，如图，在?ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E．求证：四边形AFCE是平行四边形．

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，证明△DAF≌△BCE，得到AF=CE，∠AFD=∠CEB，从而得到AF∥CE，所以四边形AFCE是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DAF=∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CBD}\\{AD=BC}\\{∠DAF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定，解决本题的关键是△DAF≌△BCE．