Question

19．如图，点A、B在双曲线y₁=$\frac{k}{x}$（k＞1，x＞0）上，点C、点D在双曲线y₂=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，AC∥BD∥x轴，若$\frac{AC}{BD}$=m，则△OCD的面积为$\frac{1-{m}^{2}}{2m}$．（用含m的式子表示）

Answer 1

分析 先根据反比例函数图象上点的坐标特征可设C（a，$\frac{•1}{a}$），D（b，$\frac{1}{b}$），再由A，B是函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限图象上的两个点，AC∥BD∥x轴，得出A（ak，$\frac{1}{a}$），B（bk，$\frac{1}{b}$），那么根据$\frac{AC}{BD}$，得出a=bm．过点C作CM⊥y轴于点M，作CN⊥x轴于点N，过点D作DP⊥x轴于点P，则△COD的面积=矩形ONCM的面积+梯形PDCN的面积-△COM的面积-△DOP的面积，由反比例函数系数k的几何意义，可知矩形ONCM的面积=1，△COM的面积=△DOP的面积=$\frac{1}{2}$，所以△COD的面积=梯形PDCN的面积，根据梯形的面积公式即可求解．

解答 解：∵C，D是函数y=$\frac{1}{x}$上两点，
∴可设C（a，$\frac{•1}{a}$），D（b，$\frac{1}{b}$），
∵A，B是函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限图象上的两个点，AC∥BD∥x轴，
∴A（ak，$\frac{•1}{a}$），B（bk，$\frac{1}{b}$）．
∵$\frac{AC}{BD}$，
∴$\frac{ak-a}{bk-b}$=m，
由图可知k≠1，
∴a=bm．
如图，过点C作CM⊥y轴于点M，作CN⊥x轴于点N，过点D作DP⊥x轴于点P，
则S_△COD=S_矩形ONCM+S_梯形PDCN-S_△COM-S_△DOP
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{•1}{a}$）•（b-a）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{bm}$）•（b-bm）
=$\frac{1-{m}^{2}}{2m}$．
故答案为$\frac{1-{m}^{2}}{2m}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，有一定难度．运用数形结合的思想，准确地设出点的坐标是解题的关键．