Question

如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于A，B两点，其中点A的横坐标是．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 过线段AB上一点P，作PM //x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N，当点M的横坐标为何值时，的长度最大？最大值是多少？

 

 

Answer 1

（1）因为点A是直线与抛物线的交点，且其横坐标是，

所以，A点坐标（，1）

设直线的函数关系式为将（0,4），（，1）代入得

解得     所以直线

由，得，解之得，

当时，．

所以点．

（2）作AM∥轴,BM∥轴, AM, BM交于点M．

由勾股定理得:=325．

设点，则，

．

①     若，则，

②     即，

  所以．

②若，则，即，

  化简得，解之得或．

③若，则，即，

所以．

所以点C的坐标为

（3）设，则．

 由，所以，所以点P的横坐标为．

所以．

所以．

所以当，又因为，

所以取到最大值18．

所以当点M的横坐标为6时，的长度最大值是18．