Question

1．如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°．以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB、AD分别相交于点F、G；
（1）请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；
（2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积．

Answer 1

分析 （1）连接AE、AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H，根据切线的性质得到AE⊥BC，根据菱形的性质得到AC平分∠BAD，由角平分线的性质得到AE=AH，于是结论可得；
（2）根据菱形的性质和等边三角形的性质求出AE的长，根据弧长公式求出$\widehat{FG}$的长，得到圆锥的侧面积，求出圆锥的底半径得到圆锥的底面积即可．

解答 解：（1）相切；
证明：连接AE、AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H，
∵CB与⊙A相切，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴AE=AH，
∴扇形与边CD相切；
（2）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{FG}$的长为$\frac{120×π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
则圆锥的侧面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π×$\sqrt{3}$=π，
设圆锥的底半径为r，2πr=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
解得，r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则圆锥的底面积为：π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{π}{3}$，
该圆锥的全面积=π+$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、扇形的弧长公式、扇形的面积公式，灵活运用相关定理和性质以及公式是解题的关键．