Question

如图1，直角坐标系中，A点是第二象限内一点，AB⊥x轴于B，且C（0，2）是y轴正半轴上一点，OB-OC=2，S_{四边形ABOC}=11．


（1）求A点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点，当∠COE=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系，并证明；
（3）当D点在线段OB上运动时，连接AD、CD，如图2，DE平分∠ADC，DP∥AB．则以下两个结论：
①∠PDE的大小不变；
②

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

的大小不变．
其中只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确并说明理由．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：探究型

分析：（1）理由C点坐标得到OB=2+OC=4，则B点坐标为（-4，0），设A点坐标为（-4，b），根据梯形的面积公式得到

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，则A点坐标为（-4，

7

2

）；
（2）作CH⊥AB于H，如图1，证明Rt△OCD∽Rt△HCA，理由相似比即可得到

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

=

1

2

；
（3）如图2，由PD∥AB得到PD∥AB∥OC，根据平行线的性质得∠PDA=∠BAD，∠PDC=∠OCD，则∠ADC=∠BAD+∠OCD，再利用角平分线的性质得∠EDC=

1

2

∠ADC=

1

2

（∠BAD+∠OCD），所以∠PDE=|∠PDC-∠EDC|=|∠OCD-

1

2

（∠BAD+∠OCD）|=

1

2

|∠OCD-∠BAD|，则有

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

=2．

解答：解：（1）∵C（0，2），OB-OC=2，
∵OB=2+OC=2+2=4，
∴B点坐标为（-4，0），
设A点坐标为（-4，b），
∴

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，
∴A点坐标为（-4，

7

2

）；
（2）CD=

1

2

AC．理由如下：
作CH⊥AB于H，如图1，
∴∠CDO=∠A，
∴Rt△OCD∽Rt△HCA，
∴

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

，
即CD=

1

2

AC；
（3）结论②正确．理由如下：
如图2，∵PD∥AB，
∴PD∥AB∥OC，
∴∠PDA=∠BAD，∠PDC=∠OCD，
∴∠ADC=∠PDA+∠PDC=∠BAD+∠OCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=

1

2

∠ADC=

1

2

（∠BAD+∠OCD），
∴∠PDE=|∠PDC-∠EDC|=|∠OCD-

1

2

（∠BAD+∠OCD）|=

1

2

|∠OCD-∠BAD|，
∴

|∠OCD-∠BAD|

∠PDE

=2．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了相似的判定与性质和平行线的性质．